今日冷落小K，深表歉意，特开此贴与大家分享神水失败的原因

?????? 请思考下列问题：
????? 任意空间曲线绕任意直线旋转，求曲面及表面积和体积；
???????任意空间曲线在任意平面上的投影。
?????? 最近考研复习高数的时候，我发现了许多问题。大一学习没怎么用功，也不知道居然有这么多问题。而且问题不出在自己身上，出在教材上！！
?????? 空间几何及曲线曲面章节，教材讨论问题时，将多数情况都特殊化了，没有给出一般性解决方案。还有些方面根本就没有讨论，习题中也没有体现。譬如，只讨论了简单旋转曲面体积，却没有旋转曲面表面积的求法。当然部分考研资料给出了一些参考，可是那也是特殊化情况下的。
??????? 什么是特殊情况呢？如，直线绕轴旋转，直线在平面上的投影，等。学习数学，我们的目的是追求最一般性的解，而且，工程中哪里处处都是这些简单情况呢！！
????? 上述问题的一般描述是：任意空间曲线绕任意直线旋转，求曲面及表面积和体积；任意空间曲线在任意平面上的投影。
????? 其实，讨论上述问题并不难，却不知道教材为什么没有做到授之以渔！
?????? 以下是我个人的解决方案，仅供参考：
????? 上述问题的核心是：点到直线的距离和点到平面的距离。任何曲线、曲面都是有点的关系描述的。有了以上方程，在加上给定的已知方程，联立求解即可。
??????1. 任意空间曲线在任意平面上的投影

?????? 我们可以假设，方程组G(X,Y,Z)=0代表曲线L1，设M0,（x0,y0,z0）是曲线上任意点。M（x,y,z）是所要求的曲线L2上的点。任意平面P(X,Y,Z)=0，M是M0在P上的投影.。用F(x,y,z,x0,y0,z0)=0表示点到平面的距离。

则即为L2的方程。
F(x,y,z,x0,y0,z0)=0的具体形式为：

其中，(A,B,C)为平面P的法向量。

???????? 2.任意空间曲线绕任意直线旋转，求曲面及表面积和体积

???????

??????? 同样，我们假设，方程组G(X,Y,Z)=0代表曲线L1，设M0,（x0,y0,z0）是曲线上任意点。M（x,y,z）是所要求的曲面C(x,y,z)上的点。任意直线L(X,Y,Z)=0，L1绕L旋转得到M曲面。M0在L上的垂足是M1(x1,y1,z1)。用F(x,y,z,x0,y0,z0,x1,y1,z1)=0表示点到平面的距离。

则即的曲面C的方程。
F(x,y,z,x0,y0,z0,x1,y1,z1)=0的具体形式为：

其中，(a,b,c)为直线L的方向向量。
??有了以上形式，求表面积和体积就容易了。也可以用下面方法，化为单积分做：
dS=2*pi*d*ds,dS是旋转曲面面积微分，ds是曲线L1弧长微分
其中，

dV=pi*d*d*ds, dV是旋转曲面体积微分，ds是曲线L1弧长微分，d同上。
??以上描述和表达仅供参考。欢迎讨论并提出意见和建议。（不落山原创）